حلقه های تصویری اصلی پوچ توان

فرض کنیم یک حلقه شرکت پذیر یکدار است. حلقه ‎ ‎ را برگشت پذیر نامند هر گاه به ازای هر دو عنصر ، نتیجه دهد . حلقه ‎ ‎ را نیم جابجائی نامند هر گاه به ازای هر دو عنصر ، از نتیجه دهد . مجموع تمامی ایده آل های پوچ توان یک حلقه را رادیکال ودربرن و هم چنین اشتراک تمامی ایده آل های اول حلقه را رادیکال اول مجموع تمامی ایده آل های موضعاً پوچ توان حلقه نیز، رادیکال لویتسکی و مجموع همه ایده آل های پوچ، رادیکال پوچ بالای حلقه نامیده می شوند. و به ترتیب با و‎ نمایش می دهیم. همچنین اشتراک تمامی ایده آل های چپ (به طور معادل راست) ماکسیمال حلقه را رادیکال جیکوبسون حلقه نامند. ما رادیکال جیکوبسن و مجموعه تمام عناصر پوچ حلقه را به ترتیب با نمادهای و ‎‎نمایش خواهیم داد.